Magnetismo

Magnetismo

Magnetostática
Campo magnético creado por una carga en movimiento	B = [m_o / 4p] [ q v x r ] / r³
Ley de Biot y Savart	d B = [m_o / 4p] [ I d l x r ] / r³ donde m_o = 4 p10^-7(mo: permeabilidad magnética), r es el vector que va del elemento d l al punto en el que queremos calcular el campo magnético

- Campo magnético creado por una corriente rectilínea infinita de intensidad I en un punto situado a una distancia r	B = m_o I / [ 2 p r]
- Campo magnético creado por una espira circular de radio R por la que circula una intensidad I en el centro de la misma	B = m_o I / [ 2 R]
- Una bobina plana circular que comprende N espiras paralelas muy próximas, de radio medio R en el centro	B = m_o N I / [ 2 R]
- Campo magnético en el eje de una espira de radio r a una distancia x	B = m_o R² I / [ 2 (x² + r²)^3/2]
- Campo magnético creado por una espira cuadrada de lado L por la que circula una intensidad I en el centro de la misma	B = 2 m_o I Ö2 / [ p L]
- Campo magnético creado por un conductor rectilíneo finito a una distancia y (ángulos medidos desde el punto a los extremos del conductor)	B = m_o I (sen q₁ + sen q₂) / [4 p y]
- Campo magnético creado por un solenoide indefinido en su interior	B = m_o N I / L N: número de espiras L: longitud del solenoide
- Campo magnético creado por un solenoide en su interior	B = m_o N I (cos q₁ + cos q₂) / (2 L) donde los ángulos son los que forma desde el punto, el eje del solenoide con los extremos del mismo
- Campo magnético de un toroide formado por N espiras cada una transportando una corriente I, siendo a y b los radios interior y exterior del toroide	B = m_o N I / [ 2 p r] si a < r < b B = 0 si r > b ó r < a
Fuerza
Fuerza sobre un elemento de corriente	d F = I d L x B
Fuerza sobre un conductor rectilíneo	F = I L x B
Fuerza de Lorentz	F = q (E + v x B)
Fuerza por unidad de longitud entre corrientes paralelas	F / L = m_o I₂ I₂ / 2 p d
mismo sentido	se atraen
sentidos opuestos	se repelen
Definición de amperio	Si por dos conductores paralelos muy largos situados a una distancia de 1 m entre sí circulan corrientes iguales, se define la corriente en cada uno de ellos como igual a un amperio si la fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor es 2 10^-7 N / m
Campo magnético creado por un conductor de radio a que transporta una corriente uniformemente distribuida en su área transversal	m_o I / [ 2 p r] si r > a
	m_o I / [ 2 p a] si r = a
	m_o I r / [ 2 p a²] si r < a

Una partícula eléctrica que penetra perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme toma un movimiento circular uniforme de radio R	R = m v / (q B)
	T = 2 p m / (q B)
	w = q B / m
Ley de Ampére	ò B dl = m_o I _en
Densidad de corriente J	I = ò J d s

Momento magnético
- Momento magnético de un cuadro rectangular	N S I donde N es el número de espiras, S la superficie de las mismas e I la intensidad
- Momento del par que produce la rotación de un cuadro rectangular o una espira circular recorrido por una corriente I y puesto en un campo magnético	M = B S I sen j
Momento dipolar magnético	m = m = N I S (es perpendicular al plano de la bobina)
Par en una bobina de corriente (momento de torsión sobre una espira)	M = N I S B sen j M = N I S x B = m x B
Energía potencial asociada al momento de la fuerza	U = - m B

Inducción electromagnética
Flujo del campo magnético	f_B = ò B ds
Ley de Faraday - Lenz (fuerza electromotriz inducida)	e = - d f_B / d t
para N espiras:	e = - N [d f_B / d t]
Ley de Lenz	El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor
Fuerza electromotriz inducida en un conductor en movimiento	e = - B L v
Generación de corriente alterna	f_B = B S cos q = B S cos (w t) e = B S w sen (w t) = e_o sen (w t)
Autoinducción (L, no confundirla con la L de longitud empleada anteriormente)
Coeficiente de autoinducción	L _ii = f _ii / I _i
Autoinducción de una bobina	L = m_o N² S / l
Energía almacenada en una autoinducción	E = L I² / 2
Inducción mutua
Coeficiente de inducción mutua	M _ji = f _ji / I _i =M _ij = f _ij / I _j

Medios magnéticos
H: intensidad magnética / excitación magnética	B = m H
M: imantación	M = c H
	c: susceptibilidad magnética
	M = B / m_o - H
	B = m_o H + m_oM = m_o (H + M)
Ley de Ampére para medio magnéticos	ò H dl = I _en
Ecuación constitutiva	m = m_o (1 + k_m)
Vector densidad de corriente superficial de imantación	Js = M x n
Vector densidad de corriente volúmica de imantación	Jv = rot M
	D = e E
	J = s E
Ecuación de continuidad	ò J ds = - d q(t) / dt
Teorema de Gauss	ò D ds = Q (t)
Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos
Diamagnéticos	c_m < 0 Los valores absolutos de c_m son pequeños.
Paramagnéticos	c_m > 0 En muchos casos la susceptibilidad paramagnética depende fuertemente de la temperatura:
Ley de P. Curie (1859 - 1906)	c_m = m -1 = constante / T
Ferromagneticos	Posee una temperatura característica denominada temperatura de Curie.

Energía magnética
densidad de energía magnética: u = B² / (2 mo)	U = (1 / 2 m_o) ò_¥B² dV = L I² / 2 donde el ¥ significa que la integral se extiende a todo el espacio (donde exista campo magnético)
densidad de energía magnética: u = B H / 2	U = (1 / 2) ò_¥ B H dV

Ecuaciones de Maxwell
Ñ x H = J_c + ¶ D / ¶ t	Ñ D = r
Ñ x E = - ¶ B / ¶ t	Ñ B = 0

Ley de Gauss para el campo magnético	ò B ds = 0, pues hasta el momento no se han encontrado monopolos magnéticos, "el equivalente magnético de simples cargas eléctricas"
Forma general de la ley de Faraday	Un campo magnético variable produce un campo eléctrico: ò E d l = - d f_B / d t donde f_B = ò B ds

	forma integral	forma diferencial
1ª: ley de Gauss de la electricidad	ò E d s = q_n /e_o	div E = Ñ E = r / e_o
2ª: ley de Gauss del magnetismo	ò B ds = 0	div B = Ñ B = 0
3ª: ley de la inducción de Faraday-Henry	ò E d l = - d f_B / d t donde f_B = ò B ds	rot E = Ñ x E = - ¶ B / ¶ t
4ª: ley de Ampere	ò B dl = mo I + m_o e_o d f_E / d t donde e_o d f_E / d t = id (corriente de desplazamiento)	rot B = Ñ x B = m_o J + m_oe_o¶ E / ¶ t

Ondas electromagnéticas
¶²E (x, t) / ¶ x² = m_o e_o¶²E (x, t) / ¶ t²	E (x, t) = E_o sen (k x - w t)
¶²B (x, t) / ¶ x² = m_o e_o¶²B (x, t) / ¶ t²	B (x, t) = B_o sen (k x - w t)
donde	E_o = c B_o k c = w 1 / c² = m_o e_o
Campo magnético a partir del campo eléctrico	B = (u_k x E) / c
Campo eléctrico a partir del campo magnético	E = c B x u_k
Vector de Poynting	S = E x H = (E x B) / m_o lleva la dirección de propagación de la onda
Intensidad de una onda electromagnética	I = e_o c E_o² / 2
Densidad de energía	r_E (E) = e_o E² / 2 r_E (B) = B² / (2 m_o) r_E (E y B) = e_o E² / 2 + B² / (2 m_o) = e_o E²
Momento lineal y presión	Las ondas electromagnéticas transportan un momento lineal por lo que pueden ejercer presión sobre las superficies. La presión de radiación de una onda electromagnética que incide perpendicularmente sobre una superficie que la absorbe totalmente es: p = S / c

Transformadores
V_s / V_p = N_s / N_p I_s / I_p = N_p / N_s V_s / V_p = I_p / I_s	V_s : Tensión en bornes del secundario; N_s : número de espiras en el secundario V_p : Tensión en bornes del primario; N_p : número de espiras en el primario
Si N_s > N_p	Transformador elevador
Si N_s < N_p	Transformador reductor

Efecto Hall
Cuando un conductor que transporta corriente se mantiene firmemente en un campo magnético, el campo ejerce una fuerza lateral en las cargas que se mueven en el conductor.
e E_H = e v_d B ==> E_H = v_d B	donde E_H es el campo Hall, v_d la velocidad de deriva de los electrones.
fem del efecto Hall	e_H= E_H L = v_d B L donde L es el ancho del conductor

Unidades
I: Intensidad	A = amperios
J: Densidad de corriente	A / m²
B: Campo magnético	tesla 1 Tesla = 10⁴ gauss = miriagauss
f: Flujo del campo magnético	weber = tesla . m² 1 maxwell = 1 gauss . cm² 1 weber = 10⁸ maxwell
L	H = henrio, en honor a Joseph Henry (1797 - 1878)
m_o: permeabilidad magnética	wb / (A m)