Dinámica de una partícula

Dinámica de una partícula (rotación)

Sólido rígido

Sistema formado por partículas en las que las distancias relativas entre ellas permanecen constantes.
Cuando el sólido gira alrededor de un eje fijo, todas sus partículas tienen la misma velocidad y aceleración angular.

Momento de inercia
Partícula de masa m que gira en torno a un eje a una distancia r	I = m r²
Sistema de partículas puntuales	I = S m_i r_i²
Sólido rígido	I = ò r² dm donde
distribución lineal (l es la masa por unidad de longitud)	dm = l dl
distribución superficial (s es la masa por unidad de superficia)	dm = s dl
distribución volúmica (r es la masa por unidad de volumen)	dm = r dl
Tensor de inercia	{ I }
Radio de giro K	I = m K²
Algunos momentos de inercia (respecto de ejes que pasan por su centro de masas)
Aro	Io = m R²
Aro delgado (alrededor de uno de sus diámetros)	Io = m R²/2
Disco o cilindro (respecto de un eje perpendicular al mismo que pasa por su centro)	Io = m R²/2
Cilindro hueco de radios R1 y R2	Io = m (R₁² + R₂²) /2
Esfera	Io = 2 m R²/5
Esfera hueca de pared delgada	Io = 2 m R²/3
Barra	Io = m R²/ 12
Cono (eje perpendicular a la base que pasa por el vértice)	Io = 3 m R²/ 10
Cilindro de radio R y longitud h (respecto de un eje perpendicular perpendicular a la generatriz)	Io = m R²/ 2 + m h²/ 12
Teorema de Steiner (ejes paralelos separados una distancia d). Io es el momento de inercia principal (el que pasa por el centro de masas); I es el momento de inercia no principal	I = Io + m d²

Consideremos una partícula puntual de masa m situada en el punto P (x, y, z)
Momento de inercia respecto del origen	I_o = m (x² + y² + z²)
Momento de inercia respecto del eje OX	I_ox = m (y² + z²)
Momento de inercia respecto del eje OY	I_oy = m (x² + z²)
Momento de inercia respecto del eje OZ	I_oz = m (x² + y²)
Momento de inercia respecto del plano XY	I_xy = m z²
Momento de inercia respecto del plano XZ	I_xz = m y²
Momento de inercia respecto del plano YZ	I_yz = m x²
Relaciones:	I_o = I_xy + I_xz + I_yz
	2 I_o = I_ox + I_oy + I_oz
	I_ox = I_xy + I_xz I_oy = I_xy + I_yz I_oz = I_xz + I_yz


Momento angular	L = r x p = m r x v = { I } w, donde { I }es el tensor de inercia
	L_x = I_xx w_x + I_xy w_y +I_xzw_z L_y = I_xy w_x + I_yy w_y +I_yzw_z L_z = I_xz w_x + I_yz w_y +I_zzw_z
Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje arbitrario	I = I_x cos² a + I_y cos² b + I_z cos² g + 2 I_xy cos a cos b + 2 I_yz cos b cos g + 2 I_xz cos a cos g el vector unitario que señala la dirección del eje es: n = (cos a, cos b, cos g)
Productos de inercia:	I_xy = - ò ò x y dm I_xz = - ò ò x z dm I_yz = - ò ò y z dm
Ecuación de la dinámica de la rotación	S M = d L /dt = I a I es el momento de inercia respecto del punto del que tomamos momentos M = r x F
Principio de conservación del momento angular	Si S M = 0, L = cte (en ocasiones podremos escribir I w = cte)
Energía cinética (rotación)	Ec = (w L) / 2 = m w²/ 2
Energía cinética de un sólido rígido que gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masas y al mismo tiempo se traslada	Ec = m w²/ 2 + m v²/ 2
Potencia	P = M w , donde M es el momento de la fuerza
Momento del par aplicado	M = w x L