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| Ecuación de ondas |
V2 ¶2 y (x, t) /
¶ x2 = ¶2
y (x, t) / ¶ t2 |
| Solución |
y (x, t) = A sen (k x - w t +
jo) |
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si el desplazamiento es nulo en t = 0 y x = 0:
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y (x, t) = A sen (k x - w t) |
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También puede escribirse:
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y (x, t) = A sen (w t - k x) |
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Ambas representan una onda que se propaga hacia la derecha (en el
sentido de las x crecientes)
Si la onda se propaga hacia la izquierda: y (x, t) = A sen (k x +
w t) ó y (x, t) = A sen (w
t + k x) |
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V = l / T = w
/ k (velocidad de propagación)
k = 2p / l (número
de ondas);
w = 2p / T = 2
p f (pulsación)
T = 1 / f (T es el periodo y f la frecuencia) |
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Velocidad transversal de vibración:
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v = ¶ y / ¶ t |
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Aceleración transversal de vibración:
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a = ¶ v / ¶ t
= ¶2 y / ¶
t2 |
| Ondas longitudinales |
Las partículas vibran en la dirección de propagación de las ondas
(ej. ondas que se propagan en un muelle, el sonido...) |
| Ondas transversales |
Las partículas vibran en dirección perpendicular a la propagación de
las ondas
(ej. ondas en una cuerda, ondas electromagnéticas...) |
| Velocidad de propagación |
V = l / T = w
/ k |
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- onda transversal (en una cuerda):
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V = [T / m]1/2
T = tensión, m = densidad lineal de masa
(masa por unidad de longitud) |
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- onda longitudinal (sonido) en un sólido:
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V = [Y / r]1/2
Y = módulo de Young, r = densidad volúmica de
masa |
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- onda longitudinal (sonido) en un líquido:
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V = [B / r]1/2
B = módulo de compresibilidad, r = densidad
volúmica de masa |
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Velocidad del sonido en un gas:
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V = [ g R T / M ]1/2 = [g
P / r]1/2
g: coeficiente adiabático del gas (para el
aire g = 1.4)
M: peso molecular del gas (para el aire: 28.88 gr / mol)
R = 8.31 J / (mol K) = 0.082 atm l / (mol K) = 2 cal / (mol K) |
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Velocidad de una onda electromagnética en el vacio:
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c = 1 / [eo
mo]1/2
mo= 4 p10-7:
permeabilidad magnética del vacio
eo = 8.85 10-12 :
permitividad dieléctrica del vacio o constante dieléctrica |
| Energía e intensidad del movimiento ondulatorio |
| Energía del movimiento ondulatorio |
E = m w2 A2 / 2 = 2
m p2 f2 A2 |
| Potencia transmitida por una onda armónica sobre una cuerda tensa |
P = m V w2
A2 / 2 |
| Intensidad del movimiento ondulatorio |
I = E / (t S) |
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para ondas esféricas
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I1 / I2 = A12 /A22
= r22 / r12
A1 /A2 = r2 / r1 |
| Intensidad de una onda sonora armónica |
I = r V w2
A2 / 2
donde A es la amplitud del desplazamiento |
| Nivel de intensidad |
b = 10 log (I / Io)
donde Io = 10-12 w / m2
El nivel de intensidad se mide en decibelios |
| Composición de movimientos ondulatorios |
| - De la misma amplitud y frecuencia (desfase distinto) |
y1 = A sen (w t - k x1)
y2 = A sen (w t - k x2) |
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y = y1 + y2 = A' sen [w
t - k (x1 + x2) ] |
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donde
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A' = 2 A cos [ k (x1 - x2) / 2] |
| Máximos de interferencia: cuando la diferencia de caminos es un
número par de semilongitudes de onda |
x1 - x2 = 2 n (l /
2) |
| Mínimos (nulos) de interferencia: cuando la diferencia de caminos es
un número impar de semilongitudes de onda |
x1 - x2 = (2 n + 1) (l
/ 2) |
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Doble rendija de Young:
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d es la separación entre las rendijas y D la posición de la pantalla
donde se observan las franjas de interferencia |
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Posición de los máximos:
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yM = 2 n (l / 2) (D / d) |
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Posición de los mínimos:
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ym = (2 n + 1) (l / 2) (D / d) |
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Separación entre dos máximos o mínimos consecutivos:
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l D / (2 d) |
| - De la misma amplitud, frecuencia y desfase (pero que se
propagan en direcciones opuestas). Ondas estacionarias |
y1 = A sen (w t - k x)
y2 = A sen (w t + k x) |
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y = y1 + y2 = A' sen (w
t) |
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donde
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A' = 2 A cos (k x) |
| Máximos (un número par de cuartas longitudes de onda) - vientres |
xM = 2 n (l / 4) |
| Mínimos (un número impar de cuartas longitudes de onda) - nodos |
ym = (2 n + 1) (l / 4) |
| Separación entre dos máximos o mínimos consecutivos: |
l / 2 |
| - De diferente amplitud y desfase, pero de la misma frecuencia |
x1 = A1 sen (w t +
j1)
x2 = A2 sen (w t +
j2) |
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x = A sen (w t + j)
donde |
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A2 = A12 + A12
+ 2 A1 A1 cos (j1
- j2)
tg j = [A1 sen
j1 + A2 sen j2]
/ [A1 cos j1 + A2
sen j2] |
| - Composición de M.A.S. de direcciones perpendiculares |
x = A cos (w t)
y = B cos (w t + j) |
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x2 / A2 + y2 / B2 - [2 x
y cos j] / (AB) = sen2j |
