| Matrices |
| Rango de una matriz |
Orden del mayor menor complementario no nulo. |
| Matriz regular |
det A ¹ 0 |
| Diagonal principal |
Elementos aii de la matriz.
Si la matriz es cuadrado son los elementos de la diagonal trazada desde
el elemento superior izquierda al elemento inferior derecha. |
| Traza de una matriz cuadrada |
Suma de los elementos de la diogonal principal |
| Matriz diagonal. |
Aquella que tiene nulos los elementos nos situados en la diagonal
principal. |
| Matriz triangular superior |
Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son
nulos. |
| Matriz triangular inferior |
Los elementos situados por encima de la diagonal principal son
nulos. |
| Matriz traspuesta At de una matriz A |
Se obtiene cambiando ordenadamente sus filas por sus columnas.
Propiedades: (At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(A . B)t = Bt . At |
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Matriz simétrica
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Aquella que coindice con su traspuesta
At = A |
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Matriz antisimétrica
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Aquella que coindice con su traspuesta cambiada de signo
At = - A |
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A = 1/2 (A + At) + 1/2 (A - At)
|
Cualquier matriz cuadrada A puede descomponerse de forma única en
suma de una matriz simétrica más otra matriz antisimétrica |
| Matriz adjunta Aa de una matriz cuadrada A |
Aquella matriz que resulta de sustituir cada uno de sus elementos de
la matriz At por sus adjuntos respectivos |
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Adjunto del elemento aij
|
Es el determinante que resulta de eliminar la fila y la columna del
elemento en cuestión, anteponiendo el signo (-1)i+j |
| Matriz inversa de una matriz cuadrada y regular A |
Verifica que: A . A-1 = A-1. A = I (matriz
identidad)
Cálculo: A-1 = Aa / det A |
| Matrices definidas en el cuerpo de los números
complejos |
| Matriz conjugada de una matriz A |
Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo
conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo) |
| Matriz asociada A* de una matriz A |
Conjugada de la traspuesta |
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Matriz hermítica
|
A* = A |
|
Matriz antihermítica
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A* = - A |
| A = 1/2 (A + A*) + 1/2 (A - A*) |
Cualquier matriz cuadrada A puede descomponerse de forma única en
suma de una matriz hermítica más otra matriz antihermítica |
| Matriz unitaria |
Aquella matriz regular que A* = A-1
A . A* = A* . A = I
En una matriz unitaria, la suma de los elementos de una fila o columna
por sus conjugados es la unidad y la suma de los elementos de una línea
por los conjugados de otra paralela es cero.
El valor absoluto del determinante es la unidad. |
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Potencias de matrices
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| Matriz periódica de período p |
Aquella que verifica que Ap+1 = A (p
ÎN) |
| Matriz idempotente |
A2 = A (matriz períodica de período p =1 ) |
| Matriz nilpotente |
Ap = (0) |
| Matriz involutiva |
A2 = I |
| Matriz ortogonal |
Aquella que la inversa coincide con la traspuesta: A-1 =
At
En una matriz ortogonal, la suma de los cuadrados de los elementos de
cualquier fila o columna es la unidad y la suma de los productos de los
elementos de una línea por los correspondientes de otra paralela es cero
Su determinante es +1 o -1. |
| Determinantes |
| Se llama determinante de una matriz cuadrada A (n x n) a
un polinomio cuyos sumandos son todos los posibles productos de n
factores (factores que son elementos de A), de tal forma que en todo
producto exista uno y solamente un factor de cada fila de A y uno y
solamente un factor de cada columna. |
| El signo de dichos productos es + ó - según que las
permutaciones que indican los órdenes de las filas y de las columnas
sean de la misma o distinta paridad. |
Determinante de una matriz 2x2
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det A = a11 a22 - a12 a21 |
Determinante de una matriz 3x3
 |
det A = a11 a22 a33 + a21
a32 a13 + a12 a23 a31
- (a13 a22 a31 + a12 a21
a33 + a11 a23 a32) |
| Propiedades de los determinantes |
- El valor de un determinante no varía si se cambian
entre sí todas sus filas por sus columnas respectivas.
- Si se cambian entre sí dos líneas paralelas el determinante cambia de
signo.
- Si se multiplican todos los elementos de una línea por un mismo
número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.
- Si a una línea le sumamos o restamos una combinación lineal de otras
líneas paralelas, el determinante no varía. |
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Determinante nulo:
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Si todos los elementos de una línea son nulos el determinante es
cero |
| |
Si tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo. |
| |
Si los elementos de una línea son múltiplos de otra paralelas el
determinante es nulo. |
| |
Si en un determinante una línea es combinación lineal de otras
paralelas entonces el determinante es nulo. |
| det (A . B) = det A . det B |
|
| Polinomios de matrices |
| Ecuación característica de una matriz cuadrada |
det (A - x I) = 0 siendo I la matriz identidad.
Toda matriz cuadrada tiene una sola ecuación característica. |
| Polinomio característico de una matriz cuadrada |
p (x) = det (A - x I)
Toda matriz cuadrada tiene un solo polinomio característico.
El polinomio característico de una matriz descompuesta es el producto de
los polinomios característicos de sus células diagonales. |
| Polinomio característico de una matriz cuadrada de orden 2
|
p (x) = x2 - (traza A) x + det A |
| Polinomio característico de una matriz cuadrada de orden 3
|
p (x) = - x3 + (traza A) x2 - [a11
a22 + a11 a33 + a22 a33
- (a12 a21 + a13 a31 + a23
a32)] x + det A |
| Teorema de Cayley - Hamilton |
Toda matriz cuadrada A verifica su ecuación característica
(sustituyendo x por A) |
| Polinomio mínimo de una matriz cuadrada A |
Polinomio mónico correspondiente a la ecación matricial de grado
mínimo que dicha matriz satisface.
El polinomio mínimo de una matriz es único.
El polinomio mínimo es un divisor del polinomio característico.
El polinomio mínimo de una matriz descompuesta es el mínimo común
múltiplo de los polinomios mínimos de sus células diagonales. |
| Transformaciones elementales |
| Transformaciones elementales de filas |
- Cambiar una fila por otra; multiplicar una fila por un escalar ó
sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar (Lo mismo sucede
para las columnas)
- Estas tranformaciones no varían las dimensiones ni el rango de la
matriz |
| Matriz elemental |
Toda matriz cuadrada obtenida de la matriz I mediante operaciones
elementales |
| Matrices equivalentes |
Dos matrices A y B son equivalentes si puede obtenerse una a partir
de la otra.
Tienen que tener igual dimensión y rango.
Es suficiente que A y B tengan igual dimensión y rango para que sean
equivalentes. |
| Matrices semejantes |
Se dice que la matriz A es semejante a la B si existe una matriz
cuadrada y regular Q tal que B = Q-1 A Q
Todas las matrices semejantes tienen igual polinomio característico
(igual traza y determinante) y mínimo.
La condición necesaria y suficiente para que dos matrices sean
semejantes es que ambas caractericen al mismo operador lineal en bases
distintas. |
| Matrices congruentes |
Se dice que la matriz A es semejante a la B si existe una matriz
cuadrada y regular Q tal que B = Qt A Q |
- Las matrices semejantes y congruentes son
equivalentes.
- Para que dos matrices sean semejantes o congruentes, además de tener
igual dimensión y rango, deben ser también matrices cuadradas. |
Sistemas de ecuaciones lineales.
Discusión de sistemas. Método de Rouché - Fröbenius |
| Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos (m ecuaciones y n
incógnitas: |
a11 x1 + a12 x2 + ... +
a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n
xn = b2
...
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn
xn = bm |
Matriz A de los coeficientes (dimensiones: m x n): A = [ [a11,
a12, ...., a1n] , [a21, a22,
...., a2n] , ... , [am1, am2, ...., amn]
]
(cada corchete representa una fila de la matriz)Matriz ampliada A+
de los coeficientes (dimensiones: m x n+1):
A = [ [a11, a12, ...., a1n, b1]
, [a21, a22, ...., a2n, b2]
, ... , [am1, am2, ...., amn, bm]
] |
| Si rango (A) ¹ rango (A+) ==>
Sistema incompatible (No tiene solución) |
Si rango (A) = rango (A+) = r
==> Sistema compatible (Tiene solución)
- Si r = n ==> Sistema compatible determinado (existe una
única solución)
- Si r < n ==> Sistema compatible indeterminado (existen
infinitas soluciones que vendrán dadas en función de n - r parámetros) |
| Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos: |
a11 x1 + a12 x2 + ... +
a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n
xn = 0
...
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann
xn = 0 |
| A = A+ ==> rango (A) = rango
(A+) = r |
- Si r = n ==> Sistema incompatible (sólo existe la
solución trivial, en la que todas las incógnitas valen cero)
- Si r < n ==> Sistema compatible indeterminado (existen
infinitas soluciones que vendrán dadas en función de n - r parámetros) |
|
