| Formas bilineales y formas cuadráticas |
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Formas bilineales
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| Sean dos espacios vectoriales E = {x, y, z ...}
(dim E = n) y E' = {x', y', z' ...} (dim E' = m)
definidos sobre el mismo cuerpo conmutativo K. Se llama forma bilineal a
toda aplicación
E x E' --> K
(x, x') -->f (x, x')
de E x E' en K que es a la vez lineal en E y en E', es decir,
"x, yÎ
E, "x', y'Î
E', " l, mÎ K,
I. f (l x + my,
x') = l f (x, x') +
m f (y, x')
II. f (x, l x' +
my') = l f
(x, x') + m f (x, y')
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| Expresión matricial de la forma bilineal
f (x, y) = [xi] S B {yi}S'
donde bij = f (ei, ej')
[xi] S son las componentes del vector x
en la base de E (es un vector fila): S = {e1, e2,
... , en}
[yi] S' son las componentes del vector y en
la base de E' (es un vector columna): S' = {e1', e2',
... , en'}
La matriz B tendrá dimensiones n x m |
Cambio de la matriz de la forma bilineal al cambiar las bases
Tenemos inicialmente BE y BE'. La matriz es B1.
Cambiamos de BE a B'E y de BE' a B'E'
mediante matrices de paso P1 y P2,
respectivamente. La nueva matriz será B2.
B2 = P1t B1 P2
(B1 y B2 son matrices equivalentes)
En el caso en que E' º E ==> P1
= P2 = P ==> B2 = Pt B1 P (B1
y B2 son matrices congruentes) |
| Rango de una forma bilineal: rango de la matriz que
caracteriza a la misma |
| Forma bilineal degenerada: cuando la matriz es cuadrada y det
B = 0 |
| Forma bilineal simétrica: Sean E' º
E (B es cuadrada), si " x, yÎ
E x E', f (x, y) = f (y, x). B será
simétrica |
| En una forma bilineal simétrica se dice que x e y son
conjugados cuando f (x, y) = 0 |
| El producto escalar f (x, y) = (x . y)
es una forma bilineal simétrica |
| Formas cuadráticas |
Si en la forma bilineal simétrica f (x, y)
= [xi] B {yi} hacemos y = x,
resultará f (x, x) = [xi] B {xi}, a
la que denominaremos forma cuadrática y representaremos por fc
(x). B será una matriz simétrica.
E --> K
x -->fc (x) = [xi]
B {xi} |
| A la forma bilineal simétrica f (x, y) se
le denomina forma polar de la forma cuadrática f (x, y) =
½ [ fc (x + y) - fc (x) - fc
(y) ] |
| Al determinante de B se le denomina discriminante de la
forma cuadrática. |
| Toda forma cuadrática es una función homogénea de grado
2. |
| En toda transformación ortogonal (matriz de paso
ortogonal), el discriminante ½B½
de la forma cuadrática es un invariante. |
| Diagonalizar una forma cuadrática es transformarla en
otra equivalente, de modo que la matriz simétrica que la caracterice sea
diagonal. A la expresión resultante fc (x) = c11
x12 + c22 x22 +
... + cnn xn2 se le denomina forma
canónica de la forma cuadrática. |
| Clasificación de las forma cuadráticas: |
| Definida positiva, " x
Î E / x ¹
0, fc (x) > 0 |
Todos los valores propios son positivos |
| Semidefinida positiva, " x
Î E / x ¹
0, fc (x) ³ 0 |
Valores propios positivos y nulos |
| Definida negativa, " x
Î E / x ¹
0, fc (x) < 0 |
Todos los valores propios son negativos |
| Semidefinida negativa, " x
Î E / x ¹
0, fc (x) £ 0 |
Valores propios negativos y nulos |
| Indefinida, " x
Î E / x ¹
0, fc (x) >< 0 |
Valores propios positivos y negativos (al margen de que haya o no
nulos) |
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