| Plano |
| Ecuación de una recta (m es la pendiente y n la ordenada en
el origen) |
y = m x + n |
| Ecuación de una recta conocido un punto P(xo,yo)
y la pendiente m |
y - yo = m (x - xo) |
| Ecuación de la recta tangente a una curva f(x) en un punto P(xo,yo) |
y - yo = f´ (xo) (x - xo) |
| Relación entre las pendientes m1 y m2 de dos
rectas perpendiculares |
m1 = - 1 / m2 |
| Ángulo formado por dos rectas a partir de sus pendientes |
tg j = (m1 - m2) /
[ 1 + (m1 m2) ] |
| Distancia entre dos puntos: Po (xo,yo)
y P1 (x1,y1) |
d = [ (x1 - xo)2 + (y1 -
yo)2 ]1/2 |
| Distancia del punto P (xo,yo) a la recta A x +
B y + C = 0 |
d = | A xo + B yo + C | / (A2 + B2)1/2 |
| Puntos notables de un triángulo |
| Incentro |
Punto donde se cortan las bisectrices |
| Circuncentro |
Punto donde se cortan las mediatrices |
| Baricentro |
Punto en el que se cortan las medianas |
| Ortocentro |
Punto en el que se cortan las alturas |
| Espacio |
| recta que pasa por el punto P (xo, yo,
zo) y tiene por vector director el v (vx, vy,
vz) |
| Ecuación vectorial |
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (vx,
vy, vz)
donde t es el parámetro |
| Ecuaciones paramétricas |
x = xo + t vx
y = yo + t vy
z = zo + t vz |
| Ecuaciones contínuas |
(x - xo) / vx = (y - yo) / vy
= (z - zo) / vz |
| Recta como intersección de dos planos |
A1 x + B1 y + C1 z + D1
= 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 |
| Vectores |
| |
a = ax i + ay j + azk |
| Módulo de un vector |
| a | = a = [ ax2 + ay2
+ az2 ] 1/2 |
| Suma de dos vectores a y b |
a + b = (ax + bx) i + ( ay
+ by) j + (az + bz) k |
| Diferencia de dos vectores a y b |
a - b = (ax - bx) i + ( ay
- by) j + (az - bz) k |
| Producto de un vector a por un escalar a |
a a = (a
ax i + a ay j
+ a azk) |
| Producto escalar |
| Definición |
a . b = a b cos q ===> da
un número |
| A partir de las componentes |
a . b = ax bx + ay by
+ az bz |
| Conmutativo |
a . b = b . a |
| Producto escalar de dos vectores perpendiculares |
a . b = 0 si a ^
b |
| Ángulo que forman dos vectores |
cos q = a . b / (a b) |
| Producto vectorial |
| Definición |
a x b ===> da un vector |
| Módulo |
|a x b| = a b sen q |
| Dirección |
Perpendicular al plano formado por los dos vectores |
| Sentido |
Aplicando la regla del sacacorchos al llevar a sobre b
teniendo ambos un origen común |
| Anticonmutativo |
a x b = - b x a |
| Interpretación geométrica |
El módulo del producto vectorial nos da el área del rectángulo
limitado por los dos vectores |
| Producto escalar de dos vectores paralelos |
a x b = 0 si a | | b |
| Producto mixto |
| Definición |
a (b x c) ===> da un número |
| Interpretación geométrica |
Volumen del paralelepípedo formado por los vectores a, b
y c |
| 1/6 del volumen del tetraedro formado por los vectores a,
b y c |
| Sistemas de
Coordenadas en el espacio |
| Cartesianas:
x, y, z |
|
Elemento diferencial de volumen:
|
dV = dx dy dz |
|
Rango de variación de las variables para recorrer todo el espacio:
|
x: -¥ a +¥
y: -¥ a +¥
z: -¥ a +¥ |
| Cilíndricas:
r, q (ángulo con
el eje x), z |
|
Paso de cilíndricas a cartesianas:
|
x = r cos q
y = r sen q
z = z |
|
Paso de cartesianas cilíndricas:
|
r = (x2 + y2)1/2
q = arc tg (y / x)
z = z |
|
Jacobiano: J = D(x, y, z) / D (r,
q, z)
|
| J | = r2 |
|
Elemento diferencial de volumen:
|
d V = r2 dr
dq dz |
|
Rango:
|
r: 0 a +¥
q: 0 a 2 p
z: -¥ a +¥ |
| Esféricas: r,
j (ángulo con el eje z),
q (ángulo de la proyección sobre el plano z = 0 con el eje x) |
|
Paso de esféricas a cartesianas:
|
x = r sen j cos q
y = r sen j sen q
z = r cos j |
|
Paso de cartesianas a esféricas:
|
r = (x2 + y2 + z2)1/2
q = arc tg (y / x)
j = arc cos [ z / (x2 + y2
+ z2)1/2 ] |
|
Jacobiano: J = D(x, y, z) / D (r, j,
q)
|
| J | = r2 sen j |
|
Elemento diferencial de volumen:
|
d V = r2 sen j dr dq
dj |
|
Rango:
|
r: 0 a +¥
q: 0 a 2 p
j: 0 a p: |
|
