| Aplicaciones lineales |
Sean dos espacios vectoriales E = {x, y, z ...}
(dim E = n) y E' = {x', y', z' ...} (dim E' = m)
definidos sobre el mismo cuerpo conmutativo K. Se llama aplicación
lineal a toda aplicación E ® E'
(x) ® x'= f (x)que
verifica las propiedades: I. f (x + y) = f (x) + f
(y)
II. f (l x) = l
f (x)Endormorfismo: Aplicación lineal de un espacio
vectorial en sí mismo (E = E ') |
Expresión matricial de la aplicación lineal:
Las columnas de la matriz de la aplicación lineal son las imágenes de
los vectores de la base de E referidos a la base de E'. f (x) = A
(x)La matriz A tendrá dimensiones n x m. |
Cambio de la matriz de la aplicación lineal al cambiar las bases
Tenemos inicialmente BE y BE'. La matriz es A1.
Cambiamos de BE a B'E y de BE' a B'E'
mediante matrices de paso P1 y P2,
respectivamente. La nueva matriz será A2. A2 = P2-1
A1 P1En el caso de que se trate de un
endomorfismo: P2 = P1 = P ==> A2 = P-1
A1 P |
| Endomorfismos |
Valores y vectores propios: f (x) = A x =
lx
donde l es el valor propio (autovalor) y x
¹ 0 el vector propio (autovector). |
| Cálculo de valores propios: det (A - l
I) = 0 |
Cálculo de vectores propios. Para cada valor propio
li, resolvemos la ecuación
matricial (A - li I ) x =
0
donde x y 0 son vectores columna. |
| A todo vector propio le corresponde un único valor propio. |
| Número de vectores propios (linealmente independientes) asociados al
valor propio li = dimensión de E
- rango (A - li I ) |
| Diagonalización de endomorfismos. |
| Un endomorfismo es diagonalizable si existen tantos vectores propios
como la dimensión del espacio vectorial en el que trabajamos (dimensión
de la matriz del endomorfismo). |
| - Toda matriz simétrica (hermítica en general) siempre es
diagonalizable. |
| - Si los valores propios son distintos entre sí, siempre es
diagonalizable. |
| - Si hay valores propios repetidos, será diagonalizable cuando el
número de vectores porpios asociados al valor propio repetido coincida
con la multiplicidad de dicho valor propio. |
La matriz diagonal D está formada por los valores propios en la
diagonal principal (el resto de los elementos son nulos).
La base para la cual la matriz que caracteriza al endomorfismo es la
diagonal está formada por los vectores propios.
La matriz de paso P que permite el paso de la base inicial (para la cual
la matriz del endomorfismo en A) a la nueva base tiene por columnas a
los vectores propios colocados en el mismo orden en que hemos colocado
los valores propios en la matriz diagonal. |
| Relación entre las matrices: D = P-1 A P |
Aplicación de la diagonalización al cálculo de la potencia enésima
de una matriz. A = P D P-1 ==> An = P Dn
P-1
pero el cálculo de Dn, es sencillo pues basta con elevar a la
n los elementos de la diagonal principal. |
| Forma canónica de Jordan |
| En el caso de el endomorfismo no sea diagonalizable, es posible
obtener una matriz que aunque no sea completamente diagonal, sí que
tiene muchos elementos nulos. La forma canónica de Jordan va a ser una
matriz triangular superior. |
