| Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy |
| Teorema de Rolle |
| Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y
diferenciable en su interior (a, b), con f (a) = f (b) entonces existe
al menos un número c en (a, b) tal que |
f ´ (c) = 0 |
|
Interpretación geométrica
|
Existe un punto del intervalo en el que la recta tangente es
horizontal (paralela al eje del abcisas) |
| Teorema del valor medio de Cauchy |
| Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo (a, b) y
continuas en [a, b]. Si g´(x) ¹ 0
" x Î (a, b),
$ c (a, b) / |
[ f (b) - f (a) ] / [ g(b) - g (a) ] = f´ (c) / g´ (c) |
| Teorema del valor medio para derivadas |
| Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y
diferenciable en su interior (a, b) entonces existe al menos un número c
en (a, b) tal que |
[ f (b) - f (a) ] / (b - a) = f´ (c) |
|
Interpretación geométrica
|
Existe un punto del intervalo en el que la recta tangente es
paralela a la recta que une los punto (a, f(a)) y (b, f(b)) |
| Desarrollos en serie de potencias |
| Taylor |
f (x) @ f (xo) + f '(xo)
(x - xo) / 1! + f ''(xo) (x - xo)2
/ 2! + f '''(xo) (x - xo)3 / 3! + ... |
| McLaurin |
f (x) @ f (0) + f '(0) x / 1! + f ''(0) x2
/ 2! + f '''(0) x3 / 3! + ... |
| Algunos desarrollos en torno al punto xo = 0 |
| ex |
1 + x + x2 / 2! + x3 / 3! + ... |
| ln (1 + x) |
x - x2 / 2 + x3 / 3 - x4 / 4 + ... |
| sen x |
x - x3 / 3! + x5 / 5! - x7 / 7!
+... |
| arc sen x |
x + x3 / 6 + 3 x5 / 40 + 5 x7 / 112
+ ... |
| cos x |
1 - x2 / 2! + x4 / 4! - x6 / 6!
+... |
| tg x |
x + x3 / 3 + 2 x5 / 15 +... |
| arc tg x |
x - x3 / 3 + x5 / 5 - x7 / 7 + x9
/ 9 - .... |
| (1 + x)m |
1 + m x + m (m-1) x2 / 2! +... |
| 1 / (1 - x) |
1 + x + x2 + x3 + x4 + ... |
| Campos escalares y vectoriales |
| Campo escalar |
f = f (x, y,
z) |
| Campo vectorial |
A (x, y, z) = Ax (x, y, z) i + Ay
(x, y, z) j + Az (x, y, z) k |
| Operador nabla |
| Ñ = (¶ / ¶x ) i
+ (¶ / ¶y ) j + (¶
/ ¶z ) k |
| Gradiente de una función escalar f |
Ñ f =
(¶ f / ¶x ) i + (¶
f / ¶y ) j + (¶ f / ¶z ) k |
| Divergencia de una función vectorial A |
Ñ A =
(¶ Ax/ ¶x ) +
(¶ Ay/ ¶y
) + (¶ Az/ ¶z
) |
| Rotacional de una función vectorial A |
Ñ x A = [(¶
Az/ ¶y ) -
(¶ Ay/ ¶z
) ] i + [(¶ Az/
¶x ) - (¶ Ax/
¶z ) ] j + [(¶ Ay
/ ¶x ) - (¶ Ax
/ ¶y ) ] k |
| Laplaciano de una función escalar f |
Ñ2
f = (¶2
f / ¶x2 ) + (¶2
f / ¶y2 ) + (¶2
f / ¶z2 ) |
| Laplaciano de una función vectorial A |
Ñ2 A =
(¶2Ax/
¶x2 ) + (¶2Ay
/ ¶y2 ) + (¶2Az
/ ¶z2 ) |
| |
Se aplica a un |
Da como resultado un |
| Gradiente |
escalar |
vector |
| Divergencia |
vector |
escalar |
| Rotacional |
vector |
vector |
| Laplaciana de un vector |
vector |
escalar |
| Laplaciana de un escalar |
escalar |
escalar |
|
