Cálculo Infinitesimal Academia Minas

Cálculo Infinitesimal

Infinitos (cuando n ®¥)
Una función W (n) es un infinito cuando su límite vale ¥
a_o n^b + a₁ n^b-1 + a₂ n^b-2 + ... ~ a_o n^b	Todo polinomio es equivalente a su término de mayor grado
ln [ a_o n^b + a₁ n^b-1 + a₂ n^b-2 + ... ] ~ ln [ n^b ]
Órdenes de infinitud	nⁿ > n! > cⁿ > n^b > ln a
	n ! <> (2 p n)^1/2 n^p e^-n (Stirling)
Infinitésimos equivalentes (cuando x ® 0)
Una función w (x) es un infinitésimo cuando su límite vale 0	sen x ~ tan x ~ arc sen x ~ arc tan x ~ x 1 - cos x ~ x² / 2 ln (1 + x) ~ x
ln (u) ~ u - 1 (cuando u ® 1)

Límites
Indeterminaciones	¥ / ¥, ¥ - ¥, 1^¥, 0 / 0, ¥.0, 0⁰
Número e	e = lim (1 + 1 / n)ⁿ (cuando n ®¥)
Si f (n) ® 1 y g (n) ®¥	lim f (n) ^{g (n)} = exp { lim [f (n) - 1] g (n) }
Regla de L´Hôpital	Resuelve indeterminaciones de la forma 0 / 0.
Regla de L´Hôpital	lim f (x) / g (x) = lim f ' (x) / g ' (x) (cuando x ® x_o)

Series (todos los límites que aparecen en este apartado son cuando n tiene a ¥)
Sucesión:	a₁, a₂, ..., a_n, ...
Serie:	S a_n = a₁ + a₂ + ... a_n + ... El sumatorio se extiende desde n = 1 a ¥
Término general:	a_n
Condición necesaria de convergencia	lim a_n = 0
Serie armónica:	a_n = 1 / n^a	a > 1 : converge a £ 1 : diverge
Criterio de comparación	Sean S a_n y S b_n dos series.	Si lim [ a_n / b_n ] = finito, entonces ambas series tienen el mismo carácter
Criterio de la raíz:	lim (a_n)^1/n	< 1 : converge > 1 : diverge = 1 : duda
Criterio del cociente:	lim a_n+1 / a_n	< 1 : converge > 1 : diverge = 1 : duda (se resuelve por Raabe)
Criterio de Raabe:	lim { n [1 - (a_n+1 / a_n) ] }	> 1 : converge < 1 : diverge = 1 : duda
Criterio logarítmico:	lim [ ln (1/a_n) / ln n]	> 1 : converge < 1 : diverge = 1 : duda (aplicamos el criterio integral)
Criterio integral

Suma de series
Series artimético - geométricas	Término general de la forma a_n g_n donde a_n es el término general de una progresión aritmética (polinomio de grado n) y g_n el de una progresión geométrica convergente (razón < 1)
Series hipergeométricas	Cuando a_n+1 / a_n = [a n + b] / [a n + g] Condición de convergencia: g > a + b Suma: a₁ g / [g - a - b]
Series reducibles a hipergeométricas	Cociente de dos polinomios. p es el grado del numerador y q es el número de factores que aparecen en el denominador. Se descompone en (p + 1) sumandos de q - p factores cada uno. Debe verificarse que q ³ p + 2
Series de Stirling	El término general es el cociente de dos polinomios. p es el grado del numerador y q el del denominador. Debe verificarse que q ³ p + 2 Descomponemos en suma de fracciones simples.
Suma de series por descomposición del término general	Cuando a_n = f (n) - f (n+a)
Número e	e = S 1 / n! El sumatorio se extiende desde n = 0 a ¥

Tabla de derivadas
Notación: y ' = dy /dx
u, v, w = f (x)	n, c = constantes
Función	Derivada
u + v	u' + v'
c u	c u'
uⁿ	n u^n-1 u'
u v	u' v + u v'
u v w	u' v w + u v' w + u v w'
u / v	( u' v - u v' ) / v²
u^1/2	u' / (2 u^1/2)
ln ½u½	u' / u
a^u	a^uu' ln ½a½
e^u	u' e^u
arc tg u	u' / (1 + u²)
arg tgh u	u' / (1 - u²)
arc sen u	u' / (1 - u²)^1/2
arg senh u	u' / (1 + u²)^1/2
sen u	u' cos u
cos u	- u' sen u
tg u	u' / cos² u

Representación gráfica de funciones
*	Dominio (campo de existencia)	Valores de x para los cuales existe y
	Recorrido	Valores de y para los cuales existe x
	Periodicidad	Función periódica de periodo T, cuando f (x + T) = f (x)
*	Puntos de corte con los ejes	Con el eje x, hacemos y = 0
	Puntos de corte con los ejes	Con el eje y, hacemos x = 0
*	Simetrías. Paridad de la función	Si la función es par, es decir, si f (-x) = f (x), es simétrica respecto del eje OY
	Simetrías. Paridad de la función	Si la función es impar, es decir, si f (-x) = - f (x), es simétrica respecto del eje origen
*	Regiones por donde pasa	Se estudia el signo de la funcion y = f (x)
*	Asíntotas	Verticales: son los ceros del denominador
		Horizontales: son de la forma y = m, donde m = lim f (x) cuando x ®¥
		Oblícuas: son de la forma y = m x + n, donde m = lim f (x) / x n = lim [ f (x) - m x ]
		Es interesante estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota. - Si la asíntota es vertical, las regiones por donde pasa nos lo indican. - Si la asíntota es oblícua, se calcula el signo de la función: y_curva - y_asíntota
*	Crecimiento y decrecimiento	Se estudia el signo de la primera derivada. - Si f ´ (x) > 0 : crece - Si f ´ (x) < 0 : decrece El punto en que la fución pasa de ser creciente a decreciente, es un máximo (relativo). El punto en que la fución pasa de ser decreciente a creciente, es un mínimo (relativo).
*	Máximos y mínimos	Se calcula el signo de la segunda derivada en los puntos (x_o) que anulan la primera. - Si f ´´ (x_o) > 0 : mínimo - Si f ´´ (x_o) < 0 : máximo
*	Puntos de inflexión	Puntos que anulan la segunda derivada (pero no la tercera)
*	Concavidad y convexidad	Se estudia el signo de la segunda derivada - Si f ´´ (x_o) > 0 : concavidad en forma de È - Si f ´´ (x_o) < 0 : concavidad en forma de Ç