| Cálculo Integral.
Integrales indefinidas. |
| ò [ f(x) + g(x) ] dx =
ò f(x) dx + ò g(x)
dx |
| ò c f(x) dx = c ò
f(x) dx |
| Integrales inmediatas |
u = u (x); n y a son constantes
Con u' se designa la derivada de u (respecto de x)
A todas las integrales se les debe añadir una constante de integración (cte).
Sólo indicamos el integrando y el resultado de la integral (función y su
primitiva).
Así por ejemplo la primera integral debe interpretarse:
ò u' un dx = [ un+1
/ (n+1) ] + cte (siempre que n ¹ -1)
|
| General |
Caso particular (u = x) |
| Integrando |
Resultado de la integral |
Integrando |
Resultado de la integral |
| u' un (siempre que n ¹ -1) |
un+1 / (n+1) |
xn |
xn+1 / (n+1) |
| u' / u |
ln ½u½ |
1 / x |
ln ½x½ |
| u' au |
au / ln ½a½ |
ax |
ax / ln ½a½ |
| u' eu |
eu |
ex |
ex |
| u' / (1 + u2) |
arc tg u |
1 / (1 + x2) |
arc tg x |
| u' / (1 - u2) |
arg tgh u |
1 / (1 - x2) |
arg tgh x |
| u' / (1 - u2)1/2 |
arc sen u |
1 / (1 - x2)1/2 |
arc sen x |
| u' / (1 + u2)1/2 |
arg senh u |
1 / (1 + x2)1/2 |
arg senh x |
| u' cos u |
sen u |
cos x |
sen x |
| u' sen u |
- cos u |
sen x |
- cos x |
| u' / cos2 u |
tg u |
1 / cos2 x |
tg x |
| Integrales de funciones
trigonométricas |
| Consideremos la integral: ò R
(sen x, cos x) dx |
| Si R (sen x, cos x) es impar en sen x; R (- sen x, cos
x) = - R (sen x, cos x) |
| cos x = t |
sen x = (1- t2)1/2 |
|
dx = - dt / (1 - t2)1/2 |
| Si R (sen x, cos x) es impar en cos x; R (sen x, - cos
x) = - R (sen x, cos x) |
| sen x = t |
cos x = (1- t2)1/2 |
|
dx = dt / (1 - t2)1/2 |
| Si R (sen x, cos x) es par en sen x y cos x; R (- sen x,
- cos x) = R (sen x, cos x) |
| tg x = t |
sen x = t / (1 + t2)1/2 |
cos x = 1 / (1 + t2)1/2 |
dx = dt / (1 + t2) |
| Sustitución general |
| tg (x/2) = t |
sen x = 2 t / (1 + t2) |
cos x = (1 - t2) / (1 + t2) |
dx = 2 dt / (1 + t2) |
Consideremos la integral: ò
senm x cosn x dx
(m y/o n pueden ser positivos o negativos) |
| Si m es impar |
Se hace el cambio cos x = t |
| Si n es impar |
Se hace el cambio sen x = t |
| Si m y n tiene igual paridad |
Se hace el cambio tg x = t |
| Integración por descomposición (para funciones
trigonométricas) |
| ò sen mx cos nx dx = ½
ò [sen (mx + nx) + sen (mx - nx)] dx |
| ò cos mx cos nx dx = ½
ò [cos (mx + nx) + cos (mx - nx)] dx |
| ò sen mx sen nx dx = ½
ò [cos (mx - nx) - cos (mx + nx)] dx |
| Otros cambios |
| sen2 x = ½ (1 - cos 2x) |
cos2 x = ½ (1 + cos 2x) |
| Integrales de funciones hiperbólicas |
| Consideremos la integral: ò R
(senh x, cosh x) dx |
| Si R (senh x, cosh x) es impar en senh x; R (- senh x,
cosh x) = - R (senh x, cosh x) |
| cosh x = t |
senh x = (t2 - 1)1/2 |
|
dx = dt / (t2 - 1)1/2 |
| Si R (senh x, cosh x) es impar en cosh x; R (senh x, -
cosh x) = - R (senh x, cosh x) |
| senh x = t |
cosh x = (1 + t2)1/2 |
|
dx = dt / (1 + t2)1/2 |
| Si R (senh x, cosh x) es par en senh x y cosh x; R (-
senh x, - cosh x) = R (senh x, cosh x) |
| tgh x = t |
senh x = t / (1 - t2)1/2 |
cosh x = 1 / (1 - t2)1/2 |
dx = dt / (1 - t2) |
| Sustitución general |
| tgh (x/2) = t |
senh x = 2 t / (1 - t2) |
cosh x = (1 + t2) / (1 - t2) |
dx = 2 dt / (1 - t2) |
| Integración por descomposición (para funciones
hiperbólicas) |
| ò senh mx cosh nx dx = ½
ò [senh (mx + nx) + senh (mx - nx)] dx |
| ò cosh mx cosh nx dx = ½
ò [cosh (mx + nx) + cosh (mx - nx)] dx |
| ò senh mx senh nx dx = ½
ò [cosh (mx + nx) - cosh (mx - nx)] dx |
| Otros cambios |
| senh2 x = ½ (1 + cosh 2x) |
cosh2 x = ½ (cosh 2x - 1) |
| Integración por partes |
| ò u d v = u v -
ò v du |
| Regla nmotécnica para recordar la fórmula anterior:
Undía
ví un
viejo soldado
vestido de
uniforme |
Integrales de
funciones racionales
(cociente de dos polinomios) |
| 1. Si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del
denominador |
Se hace el cociente y se aplica la regla del cociente
D = d C + R ==> D / d = C + R / d
donde D es el dividendo, d el divisor, C el cociente y R el resto. |
| 2. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador |
Obtenemos las raíces del denominador y descompondremos el integrando
en fracciones simples según como sean dichas raíces.
Los coeficientes de las fracciones simples se obtienen desarrollando los
polinomios e igualando coeficientes a ambos lados o dando valores
"astutos" a la x (precisamente las raíces del denominador) o empleando
ambos métodos. |
|
2.1. Raíces del denominador reales y distintas
|
1 / (x²-1) = A / (x-1) + B / (x+1) |
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2.2. Raíces del denominador reales y múltiples
|
x / (x-1)² = A / (x-1)² + B / (x-1) |
|
2.3. Raíces del denominador reales, distintas y múltiples (mezcla de
2.1 y 2.2)
|
1 / [x (x-1)²] = A / x + B / (x-1)² + C / (x-1) |
|
2.4. Raíces del denominador complejas conjugadas
|
Buscamos en el numerador la derivada del denominador (para obtener
un logaritmo neperiano) y con lo que queda buscamos una arcotangente. |
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2.5. Raíces del denominador complejas y reales (mezcla de los casos
anteriores)
|
Descomponemos en fracciones simples cada una como se conoce excepto
en el factor cuadrático irreducible (raíces complejas) en el que
pondremos un polinomio de grado una unidad inferior
1 / [x² (x-1) (x²+1)] = A / x² + B / x + C / (x-1) + (Dx + C) / (x²+1) |
|
2.6. Raíces del denominador complejas y múltiples
|
Método de Hermite |
| Integrales
impropias |
| De primera especie |
Cuando tiene infinito su intervalo de integración.
Criterio del límite
Calculamos (cuando x tiende a ¥)
lim f(x) xa
= k finito (puede ser cero) con a > 1 ==> la integral es convergente
distinto de cero (puede ser ¥) con a
£ 1 ==> la integral es divergente |
| De segunda especie |
Cuando el integrando no está acotado en algún punto del intervalo de
integración |
|
