| Integrales curvilíneas |
| Integral curvilínea en el plano |
ò P (x, y) dx + Q (x, y) dy
(integral a través de la trayectoria C) |
| en cartesianas: |
Pondremos la y (a partir de la ecuación de la trayectoria) en
función de x, con lo que obtendremos una integral simple (en función de
x), con los límites de integración para la x
y = y (x) => dy = y ' (x) dx |
O bien, pondremos la x (a partir de la ecuación de la trayectoria)
en función de y, con lo que obtendremos una integral simple (en función
de y), con los límites de integración para la y
x = x (y) => dx = x ' (y) dy |
| en paramétricas: |
Pondremos la x y la y en función de un parámetro t
x = x (t) => dx = x' (t) dt
y = y (t) => dy = y' (t) dt |
Si la trayectoria es una circunferencia de radio R centrada en el
origen: x2 + y2 = R2, resolveremos en
paramétricas con el cambio:
x = R cos t => dx = - R sen t dt
y = R sen t => dx = - R sen t dt |
Si la trayectoria es una circunferencia de radio R con centro en el
punto (xo, yo): (x - xo)2 +
(y - yo)2 = R2, resolveremos en
paramétricas con el cambio:
x = xo + R cos t => dx = - R sen t dt
y = yo + R sen t => dx = - R sen t dt |
Si la trayectoria es una elipse de semiejes a y b centrada en el
origen: x2 / a2 + y2 / b2 =
1, resolveremos en paramétricas con el cambio:
x = a cos t => dx = - a sen t dt
y = b sen t => dx = - b sen t dt |
Si la trayectoria es una elipse de semiejes a y b con centro en el
punto (xo, yo): (x - xo)2 /
a2 + (y - yo)2 / b2 = 1,
resolveremos en paramétricas con el cambio:
x = a cos t => dx = - a sen t dt
y = b sen t => dx = - b sen t dt |
| Dependencia e independencia del camino |
Si se verifica que ¶ P (x , y) /
¶ y = ¶ Q (x , y)
/ ¶ x
- la integral curvilínea es independiente del camino seguido, depende
únicamente de los puntos inicial y final.
- si la trayectoria es cerrada, la integral curvilinea es nula (siempre
y cuando esta trayectoria no englobe ningún punto singular).
- existe asociada a ella una función potencial F (x, y) /
¶ F (x , y) / ¶
x = P (x, y)
¶ F (x , y) / ¶
y = Q (x, y) |
| Integral curvilínea en el espacio |
| ò X (x, y, z) dx + Y (x, y, z) dy + Z (x,
y, z) dz |
| Dependencia e independencia del camino |
Si el rotacional del campo vectorial V (x, y, z) = X (x, y,
z) i + Y (x, y, z) j + Z (x, y, z) k es nulo,
- la integral curvilínea es independiente del camino.
- existe asociada a ella una función potencial F (x, y, z) /
¶ F (x , y, z) / ¶
x = X (x, y, z)
¶ F (x , y, z) / ¶
y = Y (x, y, z)
¶ F (x , y, z) / ¶
z = Z (x, y, z) |
| Integrales dobles |
òò f (x, y) dx dy
(la integral doble se extiende a la región del plano R) |
| Si f (x, y) = 1, la integral doble nos da el área de la región R:
Área = òò dx dy |
| en cartesianas: |
- Si integramos primero en y, trazamos paralelas al eje y y vemos
por donde entran y por donde salen (expresaremos la y en función de x);
los límites para la x irán del valor más pequeño al más grande.
- Si integramos primero en x, trazamos paralelas al eje x y vemos por
donde entran y por donde salen (expresaremos la x en función de y); los
límites para la y irán del valor más pequeño al más grande. |
| mediante cambio de variable: |
Sea
x = x (u, v)
y = y (u, v)
d x dy = ½D (x , y) / D (u, v)½du
dv, donde ½D (x , y) / D (u, v)½es
el jacobiano de la transformación:
 |
| Integrales triples |
òòò f (x, y, z) dx dy dz
(la integral triple se extiende al volumen V) |
| Si f (x, y, z) = 1, la integral triple nos da el volumen de la
región V: Volumen = òòò dx dy dz |
| - Si integramos primero en z, trazamos paralelas al eje z y vemos
por donde entran y por donde salen (expresaremos la z en función de x e
y). A continuación resulta una integral doble extendida a la región R,
proyección del volumen anterior sobre el plano z = 0. |
| Integrales de superficie |
òò f (x, y, z) d s
(la integral se extiende a la superficie s) |
| Si f (x, y, z) = 1, la integral de superficie nos da la superficie
de la región s: Superficie =
òò ds |
Si proyectamos sobre el plano z = 0: S = òò
[ 1 + (¶z /¶x)2
+ (¶z/¶y)2]1/2
dx dy
la integral doble se extiende sobre la proyección de la superficie sobre
el plano xy |
|
