| Raíces de ecuaciones |
| Regla de Horner o de división sintética |
Evaluar un polinomio en un punto xo es equivalente a
calcular el resto de la división por x - xo. (Es decir,
hacemos "Ruffini" y nos quedamos con el resto) |
| Raíces múltiples de ecuaciones algebraicas |
La condición necesaria y suficiente para que un número xo
sea una raíz múltiple de orden k de un polinomio P (x) es que anule a
dicho polinomio y a sus k - 1 primeras derivadas, pero no a la
siguiente. |
| Raíces enteras de ecuaciones |
- Toda raíz entera de una ecuación algebraica con coeficientes
enteros es un divisor del término independiente.
- Toda raíz entera de una ecuación P (x) = 0, donde los coeficiente de P
(x) son enteros, verifica simultáneamente:
P (1) es múltiplo de (xo - 1)
P (-1) es múltiplo de (xo + 1) |
| Raíces fraccionarias de ecuaciones algebraicas |
Para encontras las raíces fraccionarias de la ecuación P (x) = an
xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x
+ ao, se efectúa la transformación x = y / an,
calculándose las raíces enteras de esta nueva ecuación. Después se
deshace el cambio. |
| Cota de Cardano - Vieta de las raíces reales de una ecuación |
Si todas las raíces de la ecuación P (x) = an xn
+ an-1 xn-1 + ... + a1 x + ao
= 0 son REALES, se verifica que ½ M
½£ [ (an-1 / an)2
- 2 (an-2 / an) ] 1/2
siendo x Î [- M ,
M] para toda raíz xi de la ecuación P (x) = 0. |
| Teorema de Bolzano |
Sea y = f (x) continua en el intervalo [a, b], teniendo f (a) y f
(b) signos opuestos, entonces existe un punto intermedio c
Î (a, b) que anula la función: f (c) = 0 |
| Método de la bisección o del semi-intervalo |
Básándose en el terorema de Bolzano, partimos de un intervalo en el
que la función cambia de signo y evaluamos el signo de la función en el
punto medio de dicho intervalo.
Reduciremos el nuevo intervalo a aquél en el que se produzca de nuevo un
cambio de signo. Repitiendo el proceso hasta obtener la precisión
requerida. |
| Método de iteración del punto fijo |
Consideremos una ecuación de la forma f (x) = 0, en la cual podremos
despejar x "en función de x" (curioso, ¿no?), es decir la escribimos de
la forma x = g (x).
Partimos de un punto xo, de forma que la primera iteración
será x1 = g (xo); la segunda: x2 = g (x1),
etc.
En general: xn = g (xn-1) |
|
Convergencia del método:
|
- 1 < g' (xo) < 1 |
| Método de Newton - Raphson |
Partimos de un punto xo y calculamos el punto x1
donde corla la recta tangente a la curva y = f (x) desde ese punto con
el eje de abcisas.
x1 = xo - [ f (xo) / f ' (xo)
]
En general: xn+1 = xn - [ f (xn) / f
' (xn) ]
Inconveniente: debemos evaluar la función y la derivada en cada punto. |
|
Convergencia del método:
|
½g ' (xo)½
< 1 |
| Método de Newton modificado |
xn+1 = xn - [ f (xn) / f ' (xo)
]
Evaluamos la derivada sólo en el primer punto. |
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Derivación numérica
|
| Desarrollo en serie de Taylor en torno al punto xo |
f (x) @ f (xo) + f '(xo)
(x - xo) / 1! + f ''(xo) (x - xo)2
/ 2! + f '''(xo) (x - xo)3 / 3! + ... |
|
Nos quedamos con los dos primeros términos:
|
f (x) @ f (xo) + f '(xo)
(x - xo) + ... |
|
Evaluamos en el punto x = xo + h
|
f (xo + h) @ f (xo)
+ f '(xo) h + O (h2) |
|
Primera aproximación a la derivada:
|
f '(xo) = [ f (xo + h) - f (xo)
] / h + O (h) |
|
Segunda aproximación a la derivada:
|
f '(xo) = [ f (xo + h) - f (xo-
h) ] / (2 h) + O (h2) |
| Integración numérica |
| aòb f (x) dx |
La integral definida entre a y b de la función f (x) nos da el área
de la región limitada por la curva y = f (x) y el eje x |
| Tamaño del paso h |
h = (b - a) / N
donde N es el número de intervalos |
| Regla del rectángulo |
aòb f (x) dx
@ h [ f (a) + f (a + h) + f (a + 2h) + ...
+ f (b - h) ] |
| |
aòb f (x) dx
@ h [ f (a + h) + f (a + 2h) + ... + f (b
- h) + f (b)] |
| |
N sumandos |
| |
Error: O (h) |
| Regla del punto medio |
aòb f (x) dx
@ h [ f (a + h/2) + f (a + 3h/2) + ... + f
(b - h/2) ] |
| |
N sumandos |
| |
Error: O (h2) |
| Regla del trapecio |
aòb f (x) dx
@ h [ f (a) / 2 + f (a + h) + f (a + 2h) +
... + f (b - h) + f (b) / 2 ] |
| |
N + 1 sumandos |
| |
Error: O (h2) |
| Regla de Simpson 1/3 |
aòb f (x) dx
@ h/3 [ f (a) + 4 f (a + h) + 2 f (a + 2h)
+ 4 f (a + 3h) + 2 f (a + 4h) ... + f (b)] |
| |
N debe ser un número par |
| |
N + 1 sumandos |
| |
Error: O (h4) |
| Método de Romberg |
En combinación con el método del trapecio |
| |
Ic (h) = Iv + a h2 + O (h4)
Ic (h/2) = Iv + a (h/2)2 + O (h4) |
| |
Multiplicando la segunda ecuación por 4, restando la primera y
despejando Iv, se obtiene:
Iv = [ 4 Ic (h/2) - Ic (h) ] / 3 + O (h4) |
| |
Después se repite el proceso. |
| Interpolación y aproximación |
| Interpolación lineal |
Polinomio interpolador de primer grado que pasa por los puntos Po
(xo, f (xo)) y P1 (x1, f (x1)) |
| |
P (x) = f (xo) + (x - xo) [ f (x1)
- f (xo) ] / [x1 - xo] |
| Interpolación de Lagrange |
Dados (n+1) puntos, se trata de calcular el polinomio interpolador
de grado n que pasa por todos ellos. |
|
Si n = 2 (tres puntos)
|
Po (xo, f (xo)) , P1 (x1,
f (x1)) , P2 (x2, f (x2)) |
| |
P (x) = f (xo) Lo (x) + f (x1) L1
(x) + f (x2) L2 (x) |
|
donde:
|
Lo (x) = [ (x - x1) (x - x2) ] / [
(xo - x1) (xo - x2) ] |
| |
L1 (x) = [ (x - xo) (x - x2) ] / [
(x1 - xo) (x1 - x2) ] |
| |
L2 (x) = [ (x - xo) (x - x1) ] / [
(x2 - xo) (x2 - x1) ] |
| Recta de mínimos cuadrados |
y = a + b x |
| |
Construimos la función de dos variables:
f (a, b) = S (a + b xi - yi)2
donde el sumatorio se extiende desde i = 1 al número de datos n.
La condición de mínimo (o máximo) exige que ¶
f / ¶ a = 0 y que ¶
f / ¶ b = 0.
Ello conduce al sistema: |
| |
a n + b S xi =
S yi |
| |
a S xi + b
S xi2 =
S xi yi |
| Parábola de mínimos cuadrados |
y = a + b x + c x2 |
| |
Construimos la función de tres variables:
f (a, b, c) = S (a + b xi + c xi2
- yi)2
donde el sumatorio se extiende desde i = 1 al número de datos n.
La condición de mínimo (o máximo) exige que ¶
f / ¶ a = ¶ f /
¶ b = ¶ f /
¶ c = 0.
Ello conduce al sistema: |
| |
a n + b S xi + c
S xi2 =
S yi |
| |
a S xi + b
S xi2 + c
S xi3 =
S xi yi |
| |
a S xi2 + b
S xi3 + c
S xi4 =
S xi2 yi |
| Tipo potencial |
y = a xb |
| |
Tomando logaritmos (da igual en qué base, por ejemplo neperianos -en
base e-)
ln y = ln a + b ln x
Llamando
Y = ln y
A = ln a
X = ln X
podemos reducir el problema a la recta de mínimos cuadrados: Y = A + b X
(No olvidar deshacer los cambios) |
| Tipo exponencial |
y = a bx |
| |
Tomando logaritmos (da igual en qué base, por ejemplo neperianos -en
base e-)
ln y = ln a + x ln b
Llamando
Y = ln y
A = ln a
B = ln b
podemos reducir el problema a la recta de mínimos cuadrados: Y = A + B x
(No olvidar deshacer los cambios) |
| Ecuaciones diferenciales |
| Queremos resolver la ecuación diferencial y' = f (x, y)
con la condición y (xo) = yo |
| Método de Taylor de tres términos |
|
|
Desarrollo en serie de Taylor:
|
y (x) @ y (xo) + y '(xo)
(x - xo) / 1! + y ''(xo) (x - xo)2
/ 2! + ... |
|
Evaluamos en el punto x = xn + h (con xo = xn):
|
y (xn + h) @ y (xn)
+ y '(xn) h + y ''(xn) h2 / 2! + ... |
|
En una notación más compacta:
|
yn+1 = yn + yn' h + yn''
h2 / 2 |
| Método de Euler o de las tangentes |
yn+1 = yn + yn' h =
yn+1 = yn + h f (xn, yn) |
| Método de Euler modificado |
yn+1 = yn + (h/2) [ f (xn, yn)
+ f (xn+1, y*n+1) ] |
|
donde
|
y*n+1 = yn + h f (xn, yn) |
| Método de Runge - Kutta |
yn+1 = yn + [k1 + 2 k2
+ 2 k3 + k4] / 6 |
|
donde
|
k1 = h f (xn, yn) |
| |
k2 = h f (xn+ h/2, yn+ k1/2) |
| |
k3 = h f (xn+ h/2, yn+ k2/2) |
| |
k4 = h f (xn+ h, yn+ k3) |
| Sistemas de ecuaciones diferenciales
de primer orden |
x ' (t) = f (t, x, y)
y ' (t) = g (t, x, y) |
x (to) = xo
y (to) = yo |
| Taylor |
xn+1 = xn + xn' h + xn''
h2 / 2
yn+1 = yn + yn' h + yn''
h2 / 2 |
| Euler |
xn+1 = xn + h xn'
yn+1 = yn + h yn' |
|
donde
|
xn' = f (tn, xn, yn)
yn' = g (tn, xn, yn)
xn'' = f ' (tn, xn, yn)
yn'' = g ' (tn, xn, yn) |
|
